Mathematisches

Die Mandelbrotmenge

Selten wurde eine mathematische Entdeckung so schnell in der Allgemeinheit bekannt wie die Mandelbrotmenge.

1980 untersuchte der amerikanische Mathematiker Benoit Mandelbrot die Beschränktheit komplexer Zahlenfolgen. Er wollte wissen, ob der Betrag einer komplexen Zahl ins Unendliche wächst, wenn man eine bestimmte Rechenvorschrift sehr oft nacheinander auf sie anwendet. Ein erster Ausdruck auf einem Drucker mit sehr geringer Auflösung zeigte ein unerwartetes Ergebnis: Die Menge der komplexen Zahlen c, deren Betrag endlich bleibt, wenn man die Vorschrift x*x-c mit dem Startwert x=0 unendlich oft auf sie anwendet, wies einen merkwürdig verschrumpelten Rand auf und besaß außerdem ein paar weitere isolierte Punkte. Mandelbrot hatte damit seine später nach ihm benannte Menge entdeckt, die in Deutschland auch unter der Bezeichnung Apfelmännchen bekannt ist. Inzwischen ist es üblich, statt x*x-c die Vorschrift x*x+c zu verwenden. Durch diese Veränderung wird die Mandelbrotmenge lediglich gespiegelt.

Genauere Rechnungen zeigten sehr schnell, daß der Rand der Mandelbrotmenge immer kompliziertere Formen annimmt, wenn man die Auflösung immer höher treibt. Zurückgehend auf Mandelbrot nennt man einen solchen Rand fraktal, eine Menge mit einem fraktalen Rand wird auch als Fraktal bezeichnet.

Drei Punkte waren entscheidend für die Rasanz, mit der Fraktale in der Allgemeinheit bekannt wurden:

• die fraktale Geometrie ist sehr gut geeignet, die lebendige Natur zu beschreiben (zum Beispiel Gebirgsformationen oder die Verzweigungen eines Baumes)

• es bestehen enge Beziehungen zur sogenannten Chaosforschung, die kurz vorher an verschiedenen Universitäten etabliert worden war

• die zahlreichen Hobbyprogrammierer konnten mit Hilfe relativ einfacher Programme ihren aufkommenden Heimcomputern (nach oftmals stundenlangen Rechnungen!) Bilder entlocken, die in ihrer Komplexität vorher unbekannt waren

Die Beschäftigung mit der Mandelbrotmenge wird nicht so schnell langweilig. Dafür sorgen zwei Tatsachen:

• Die Mandelbrotmenge ist wie jedes Fraktal selbstähnlich: ein (passender) Teil der Mandelbrotmenge ist ähnlich zur gesamten Menge, ein solcher Teil wird auch "Apfelsöhnchen" genannt

• Die Umgebung der Mandelbrotmenge kann strukturiert und entsprechend eingefärbt werden. Damit entstehen Gebilde, die den Höhenlinien einer Landkarte entsprechen. Somit können Randbereiche der Mandelbrotmenge dreidimensional dargestellt werden (siehe auch "Rechnerisches")

Die oberen vier Bilder habe ich vor vielen Jahren unter MS-DOS mit einem eigenen Pascal-Programm erstellt. Die unteren sieben Bilder sind mit Hilfe von Fractal extreme hergestellt.