komplexe Zahlen

Zur Beschreibung unserer Welt verwendet man im allgemeinen Dezimalbrüche (mit endlich oder unendlich vielen Nachkommastellen). Man nennt diese Zahlen auch reelle Zahlen.

In einigen Bereichen (zum Beispiel Elektrotechnik oder Wellenoptik) ist es jedoch vorteilhafter, komplexe Zahlen zu benutzen. Jede komplexe Zahl x läßt sich in der Form x₁+x₂i schreiben, wobei x₁ und x₂ reelle Zahlen sind. Außerdem gilt: i*i=-1!

Für zwei komplexe Zahlen a=a₁+a₂i und b=b₁+b₂i gilt:
a+b=(a₁+b₁)+(a₂+b₂)i
a-b=(a₁-b₁)+(a₂-b₂)i
a*b=(a₁*a₂-b₁*b₂)+(a₁*b₂+a₂*b₁)i
Der Betrag der komplexen Zahl x₁+x₂i berechnet sich als Wurzel aus x₁²+x₂²

Jede komplexe Zahl läßt sich als Punkt in einer Ebene (Gaußsche Ebene) veranschaulichen.

Die Mandelbrotmenge ist nichts anderes als ein (sehr kompliziert geformtes) Teilstück dieser Gaußschen Ebene, das im allgemeinen schwarz eingefärbt wird.

Ob ein bestimmter Punkt der Gaußschen Ebene zur Mandelbrotmenge gehört oder nicht, wird folgendermaßen bestimmt:

• der Punkt repräsentiert eine komplexe Zahl, die als c verwendet wird.

• als Startwert für x benutzt man 0, das heißt x=0+0i

• es wird x*x-c berechnet und als neues x benutzt

• der letzte Schritt (Iteration) wird (im Prinzip) unendlich oft wiederholt

• wird dabei der Betrag von x nicht unendlich groß, wird der zu c gehörige Punkt schwarz gefärbt, das heißt, er gehört zur Mandelbrotmenge

Da auch ein Computer nicht unendlich lange rechnen kann, muss man mit einer Näherung arbeiten. Man zählt die Iterationen, die man benötigt, damit der Betrag von x einen bestimmten festen Wert überschreitet. Damit erhält man gleichzeitig eine Struktur in der Umgebung der Mandelbrotmenge: Jeder benötigten Zahl von Iterationen wird eine bestimmte Farbe zugeordnet, die größte Zahl erhält häufig die Farbe schwarz.